Después de declarar las dependencias, ejecuta el comando install de Composer para descargarlas e instalarlas en tu proyecto:
$ php composer.phar install
Este comando busca la versión más reciente del paquete monolog/monolog que satisface la versión que necesitas, la descarga y la instala en el directorio vendor/ del proyecto (este directorio se crea automáticamente si no existe). Colocar el código y las librerías de terceros en el directorio vendor/ es una buena práctica recomendada. En el caso de monolog, su código se guardará en el directorio vendor/monolog/monolog.
Truco Si utilizas Git para versionar el código de tu proyecto, es muy recomendable que incluyas el directorio vendor/ en tu archivo .gitignore para no subir todo ese código al repositorio.
Además de instalar las dependencias, el comando install crea un archivo llamado composer.lock en el directorio raíz de tu proyecto.